Teorema 3 Jarak Antara Titik dan Bidang

Jarak antara suatu bidang dan titik Q (tidak pada bidang) adalah

dimana P adalah titik pada bidang dan n normal terhadap bidang.

---

Untuk menentukan titik pada bidang ax + by + cz + d = 0, dimana a ≠ 0, kita dapat memisalkan y = 0 dan z = 0. Kemudian, dari persamaan ax + d = 0, kita mendapatkan titik tersebut adalah

terletak pada bidang.

Contoh 5: Menentukan Jarak Antara Titik dan Bidang

Tentukan jarak antara titik Q(1, 5, –4) dan bidang 3x – y+ 2z = 6.

Pembahasan Kita tahu bahwa n = <3, –1, 2> normal terhadap bidang. Untuk menemukan satu titik pada bidang, kita misalkan y = 0 dan z = 0, dan kita dapatkan titik P(2, 0, 0). Vektor dari P ke Q adalah

Berdasarkan Rumus Jarak yang diberikan Teorema 3, kita peroleh

Dari Teorema 3, kita dapat menentukan jarak antara titik Q(x0, y0, z0) dan bidang ax + by + cz + d = 0 adalah

atau

dimana P(x1, y1, z1) adalah titik pada bidang dan d = –(ax1 + by1 + cz1).

Contoh 6: Menentukan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar

Dua bidang yang sejajar, 3x – y + 2z – 6 = 0 dan 6x – 2y+ 4z + 4, ditunjukkan Gambar 11. Untuk menentukan jarak antara bidang tersebut, kita pilih satu titik pada bidang pertama, misalkan (x0, y0, z0) = (2, 0, 0). Kemudian, dari bidang kedua, kita dapat menentukan bahwa a = 6, b = –2, c = 4, dan d = 4, sehingga