Membuat Bola menggunakan Geogebra

langkah 1 : buat dahulu persamaan bidang singgung pada bola yang telah di ketahui pada kolom input.

Langkah 2 : setelah itu input titik (1, -2, 0) pada kolom input.

Langkah 3 : input titik-titik bantu  A(1, -2, 0), B(1, 2, 0), C(-1, 2,0), dan D(-1, -2, 0)

Langkah 4 : setelah itu hubungkan titik itu menggunakan segment yang tertera pada kolom line

Langkah 5 : hubungkan kembali titik C dan D menggunakan line agar mengetahui garis singgungnya.

Tes Formatif Hal 333

11.   Persamaan bola yang berjari-jari 3 dan menyinggung bidang yz di titik (0,2,5) adalah …

Jawab :

r = 3

(0, 2, 5) = (x₁, y₁, z₁)

Persamaan bola :

(x- x₁)² + (y-y₁)² + (z-z₁)²  = r²

(x- 0)² + (y-2)² + (z-5)²  = 3²

X² +(y-2)² + (z-5)²  = 9

x² + y² – 2y + 4 z²- 10z + 25 = 9

x² + y² – z² – 2y - 10z – 20 = 0

22. Titik pusat dan jari-jari dari bola dengan persamaan 3x² + 3y² + 3z² – 6x + 12y – 18z – 6 = 0 adalah …

Jawab :

3x² + 3y² + 3z² – 6x + 12y – 18z – 6 = 0 :

x² + y² + z² – 2x + 4y – 6z – 2 = 0

pusat lingkaran = p ( A,  B,  C)

                        = , -  , -

                        = (1, -2, 3)

r =

  =

 =

   = 4

Jadi bola berpusat di titik (1, -2, 3) dan berjari-jari 4

Dua Buah Lingkaran

Sudut antara dua buah lingkaran didefinisikan sebagai sudut yang dibentuk oleh garis-garis singgung pada kedua lingkaran itu di titik potongnya. Dua lingkaran dikatakan saling memotong tegak lurus jika sudut antara garis-garis singgung di titik potongnya adalah 90^o. Perhatikan gambar berikut :

Misal diketahui dua lingkaran sebagai berikut ini.
L₁ : x² + y² + A₁x + B₁y + C₁ = 0

L₂ : x² + y² + A₂x + B₂y + C₂ = 0

Kedua lingkaran itu akan berpotongan tegak lurus apabila garis-garis singgung berimpit dengan jari-jari kedua lingkaran.

Perhatikan bahwa r₁ tegak lurus r₂, sehingga ΔM₁M₂P adalah segitiga siku – siku.

Sehingga berlaku : (M₁M₂)² = r₁² + r₂²

atau (B₁ – B₂)² + (A₁ – A₂)² = A₁² + B₁² – C₁ + A₂² + B₂² – C₂

_atau 2A₁A₂ + 2B_1­B₂ = C₁ + C₂

Inilah syarat dua lingkaran saling tegak lurus. 

Sebuah lingkaran dapat juga memotong lingkaran lain sedemikian sehingga membagi dua sama besar lingkaran tersebut. Perhatikan gambar berikut.

Jika lingkaran L₂ membagi dua sama besar lingkaran L₁, maka dalam ΔM₁PM₂ berlaku :

(M₁M₂)² = r₁² – r₂^{2     
    
jadi, agar lingkaran terbagi dua sama besar dengan lingkaran lainnya, haruslah kuadrat jarak titik-titik pusatnya sama dengan selisih kuadrat lainnya.}

A1C017001_UAS PRATIKUM GEOMETRI ANALITIK

File laporan dalam bentuk word
https://drive.google.com/file/d/1vYMXNH1i4pO-X8qMAbds1tsC_tgv6rOD/view?usp=drivesdk

Geogebra elipsoida, bola, dan soal no 1
Elipsoida
https://drive.google.com/file/d/1ZlWr2t-OjVQETZdYgkJteDXa7JeudWT3/view?usp=drivesdk

File Bola
https://drive.google.com/file/d/1yWEBN4N3J_-K5ErpvfYu15bRf2YxU37w/view?usp=drivesdk

File soal
https://drive.google.com/file/d/1WAK_eCl87U5xnlKc536Hf4v6hEp4hnLf/view?usp=drivesdk

Teorema 3 Jarak Antara Titik dan Bidang

Jarak antara suatu bidang dan titik Q (tidak pada bidang) adalah

dimana P adalah titik pada bidang dan n normal terhadap bidang.

---

Untuk menentukan titik pada bidang ax + by + cz + d = 0, dimana a ≠ 0, kita dapat memisalkan y = 0 dan z = 0. Kemudian, dari persamaan ax + d = 0, kita mendapatkan titik tersebut adalah

terletak pada bidang.

Contoh 5: Menentukan Jarak Antara Titik dan Bidang

Tentukan jarak antara titik Q(1, 5, –4) dan bidang 3x – y+ 2z = 6.

Pembahasan Kita tahu bahwa n = <3, –1, 2> normal terhadap bidang. Untuk menemukan satu titik pada bidang, kita misalkan y = 0 dan z = 0, dan kita dapatkan titik P(2, 0, 0). Vektor dari P ke Q adalah

Berdasarkan Rumus Jarak yang diberikan Teorema 3, kita peroleh

Dari Teorema 3, kita dapat menentukan jarak antara titik Q(x0, y0, z0) dan bidang ax + by + cz + d = 0 adalah

atau

dimana P(x1, y1, z1) adalah titik pada bidang dan d = –(ax1 + by1 + cz1).

Contoh 6: Menentukan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar

Dua bidang yang sejajar, 3x – y + 2z – 6 = 0 dan 6x – 2y+ 4z + 4, ditunjukkan Gambar 11. Untuk menentukan jarak antara bidang tersebut, kita pilih satu titik pada bidang pertama, misalkan (x0, y0, z0) = (2, 0, 0). Kemudian, dari bidang kedua, kita dapat menentukan bahwa a = 6, b = –2, c = 4, dan d = 4, sehingga

Teorema 2 Persamaan Baku Suatu Bidang dalam Ruang

Bidang yang memuat titik (x1, y1, z1) dan memiliki vektor normal

dapat direpresentasikan oleh suatu bidang yang memiliki persamaan dalam bentuk baku

---

Dengan mengelompokkan kembali suku-suku pada persamaan di atas, kita mendapatkan bentuk umum persamaan suatu bidang dalam ruang.

Jika diberikan bentuk umum persamaan suatu bidang, dengan mudah kita dapat menentukan vektor normal terhadap bidang tersebut. Kita gunakan koefisien x, y, dan z untuk menuliskan

Contoh 3: Menentukan Persamaan Bidang dalam Ruang

Tentukan persamaan umum bidang yang memuat titik-titik (2, 1, 1), (0, 4, 1) dan (–2, 1, 4).

Pembahasan Untuk menerapkan Teorema 2, kita membutuhkan suatu titik pada bidang dan vektor yang normal terhadap bidang tersebut. Terdapat tiga pilihan untuk titik pada bidang, tetapi tidak ada vektor normal yang diberikan. Untuk mendapatkan vektor normal, kita gunakan hasil kali silang vektor-vektor u dan v yang membentang dari titik (2, 1, 1) ke titik-titik (0, 4, 1) dan (–2, 1, 4), seperti yang ditunjukkan Gambar 4. Bentuk-bentuk komponen u dan v adalah

yang mengakibatkan

adalah normal terhadap bidang yang diberikan. Dengan menggunakan bilangan-bilangan arah pada n dan titik (x1, y1, z1) = (2, 1, 1), kita dapat menentukan persamaan bidang tersebut adalah

Catatan Dalam Contoh 3, kita dapat menguji bahwa titik-titik yang diberikan, (2, 1, 1), (0, 4, 1) dan (–2, 1, 4), memenuhi persamaan bidang yang kita peroleh.