IRISAN KERUCUT SEBAGAI KURVA BERDERAJAT DUA

Bentuk Umum Irisan Kerucut sebagai Kurva Berderajat Dua

Jika diberikan sebuah kerucut kemudian kerucut tersebut dipotong dengan berbagai cara maka akan diperoleh sebuah bidang perpotongan. Gambar berikut menunjukkan berbagai bentuk irisan yang diperoleh dari hasil perpotongan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva yang secara umum disebut irisan kerucut (conic section). Bentuk-bentuk irisan keruct seperti yang ditunjukkan pada gambar (a) berupa sebuah lingkaran, gambar (b) adalah elips, gambar (c) membentuk parabola, dan gambar (d) menghasilkan hiperbola.

Namun para ahli matematika telah menyepakati bahwa secara umum bentuk irisan kerucut adalah parabola, elips, dan hiperbola. Sedangkan lingkaran merupakan kasus khusus dari elips. Masing-masing kurva tersebut memiliki persamaan kurva berderajat dua yang unik.

Hasil irisan kerucut tersebut memperlihatkan bahwa kedudukan titik-titik akan bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap dan garis tetap sehingga terbentuk irisan kerucut. Tiap irisan kerucut memiliki komponen-komponen yang menjadi karakteristik dari tiap bentuk kurva yaitu esentrisitas (eccentricity), garis direktriks (directrix), dan titik fokus. Misalkan sebuah titik P bergerak terhadap sebuah garis tetap l, dan sebuah titik tetap F. Jarak P ke F dinyatakan oleh d dan jarak P ke l dinyatakan oleh d¢. Perbandingan jarak d dan d¢ disebut esentristitas yaitu e = d : d¢. Garis l disebut garis direktriks dan titik F disebut titik fokus. Nilai esentrisitas akan menentukan jenis irisan kerucut dengan nilai e meliputi e < 1, e = 1, dan e > 1.

Sebuah kurva bidang (plane curve) merupakan himpunan titik-titik yang akan dapat dinyatakan dalam persamaan kurva. Sebuah persamaan kurva berderajat dua dinyatakan oleh persamaan berikut :

Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

dengan nilai koefisien A, B, dan C ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Semua persamaan berderajat dua seperti di atas, pada sistem koordinat persegi panjang akan merepresentasikan sebuah kurva yang dinamakan irisan kerucut (conic). Bentuk persamaan kurva berderajat dua juga dapat dinyatakan sebagai berikut :

ax² + by² + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0

dengan nilai koefisien a, b, dan h ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Jika kurva berderajat dua melalui titik (0, 0) maka diperoleh persamaan kurva yaitu :

Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0

dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak bersamaan bernilai nol

atau

ax² + by² + 2gx + 2fy + c = 0

dengan nilai koefisien a dan b keduanya tidak bersamaan bernilai nol.

Pertanyaan 3 - 1 :     Diberikan 5 titik berbeda yaitu P(1, 1), Q(2, 3), R(0, 5), S(-1, 3), T(-1, 0) dan U(0, 0) tentukan persamaan kurva berderajat dua yang melalui kelima titik tersebut. Hubungkan kelima titik oleh sebuah kurva tertutup sederhana, lalu dugalah bentuk kurva tersebut sebagai salah satu bentuk irisan kerucut.

Penyelesaian :

Diketahui      :    Enam titik yang dilalui sebuah kurva berderajat dua yaitu :

                          P(1, 1), Q(2, 3), R(0, 5), S(-1, 3), T(-1, 0) dan U(0, 0)

                          Persamaan umum kurva berderajat dua : Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0

Ditanyakan   :    Persamaan dan bentuk kurva berderajat dua … ?

Identifikasi masalah   : Persamaan kurva berderajat dua memiliki 5 suku yaitu x², y², xy, x dan y serta 6 koefisien yang belum diketahui yaitu A, B, C, D, E dan F. Untuk menentukan persamaan kurva yang melalui keenam titik maka substitusikan keenam titik ke persamaan umum kurva sehingga diperoleh 6 persamaan yang membentuk sebuah sistem persamaan linier. Penyelesaian sistem persamaan linier menggunakan metode substitusi.

Langkah Penyelesaian :

Langkah 1 : Substitusi titik-titik pada kurva ke persamaan umum kurva berderajat dua

P(1, 1) Þ   A + B + C + D + E + F = 0

Q(2, 3) Þ   4A + 9B + 6C + 2D + 3E + F = 0

R(0, 5) Þ   25B + 5E + F = 0

S(-1, 3) Þ  A + 9B - 3C - D + 3E + F = 0

T(-1, 0) Þ  A - D + F = 0

U(0, 0) Þ   F = 0

Langkah 2 : Membentuk sistem persamaan

Karena diperoleh F = 0 maka dapat dibentuk sistem persamaan linier berikut :

Langkah 3 : Penyelesaian sistem persamaan

Dari sistem persamaan di atas diperoleh bahwa A = D dan E = -5B di mana A ¹ B ¹ 0. Misal A = 1 maka D = 1 sehingga :

   diperoleh :

Langkah 4 : Membentuk persamaan kurva berderajat dua yang melalui keenam titik

Dengan demikian didapatkan persamaan kurva berderajat dua :

x² +  y² -  xy + x -  y = 0 atau 3x² + y² - 2xy + 3x - 5y = 0

Langkah 5 : Pemeriksaan kedudukan titik-titik terhadap kurva bersesuaian dengan persamaan

Langkah berikutnya adalah menggambarkan kedudukan titik-titik dan memeriksa kebenaran apakah kurva melalui keenam titik tersebut. Dari gambar terlihat bahwa benar keenam titik dilalui oleh sebuah kurva berderajat dua yang disebut elips.